Збирка задачи › Прогресии – матура 2013

Прогресии – матура 2013

32 задачи за вежбање за државна матура по математика, со решенија.

Прво решете ја задачата во тетратка, па отворете го решението. Кај задачите со постапка е наведено и колку поени носи секој чекор.

Задачи од банката задачи за државната матура 2013 (основно и напредно ниво). Програмата оттогаш е изменета, па некои теми веќе не се дел од матурата.

Задача 1 Краток одговор

Дадена е аритметичка прогресија со прв член \({a}_{1}=3\) и разлика \(d=2\) , тогаш \({a}_{20}=\) __________________

Прикажи решение

Задача 2 Краток одговор

Нека -3,2,7 се првите три члена на аритметичка прогресија. Пресметај го дваестетиот член на низата.

Одговор: \({a}_{20}=\) _________________

Ако 100,50,25 се првите три члена на геометриска прогресија. Пресметај го шестиот член на низата.

Одговор: \({a}_{6}=\) _____________

Прикажи решение

А. 92

Б. \(\frac{25}{8}\)

Задача 3 Краток одговор

Пресметај \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots \)

Прикажи решение

Задача 4 Повеќечлен избор

Три броеви, за кои збирот им е 45 образуваат аритметичка прогресија. Да се најде средниот по големина број.

А.5

Б.15

В.20

Г. 25

Прикажи решение

Б.15

Задача 5 Повеќечлен избор

Ако во геометриска прогресија количникот \(q=\frac{1}{2}\) , тогаш вредноста на изразот \(\frac{{a}_{8}}{{a}_{5}}\) е:

А. \({2}^{-1}\)

Б. \({2}^{-2}\)

В. \({2}^{-3}\)

Г. \({2}^{-4}\)

Прикажи решение

В. \({2}^{-3}\)

Задача 6 Повеќечлен избор

Четвртиот член на аритметичка прогресија е 6. Сумата на првите седум членови е :

А.26

Б.28

В.30

Г. 42

Прикажи решение

Г. 42

Задача 7 Повеќечлен избор

За аритметичка прогресија \({a}_{1} , {a}_{2} , \ldots , {a}_{n}\) важи \({S}_{n}=3{n}^{2}-2n\) .

Пресметај го \({a}_{10}\) .

А. 55

Б. 35

В. 50

Г. 40

Прикажи решение

А. 55

Задача 8 Краток одговор

Дадена е геометриска прогресија \(16, 24, 36, \ldots \) . Пресметај го петиот член на низата.

А .\(\frac{243}{2}\)

Б. 72

В. 81

Г. 144

Прикажи решение

В. 81
\(q=\frac{3}{2},\ {a}_{5}=16\cdot{(\frac{3}{2})}^{4}=81\)

Задача 9 Задача со постапка

Во кружница со радиус \(5 \,\text{cm}\) е впишан правоаголен триаголник. Пресметај ја плоштината на триаголникот ако должините на неговите страните образуваат аритметичка прогресија со разлика \(d=2\) .

Прикажи решение

Заклучува хипотенузата \(c=2r\) (1 поен)

Ги наоѓа страните \(c=10 a=8 \) (1 поен)

Ја наоѓа страната \(b=6\) (1 поен)

Ја пресметува плоштината на правоаголниот триаголник \(P=24 {\,\text{cm}}^{2}\) (1 поен)

Задача 10 Задача со постапка

За време на поход којшто траел 11 дена, група туристи пешачела секој ден по \(1 \,\text{km}\) повеќе од претходниот ден. Колкава била должината на маршутата , ако последниот ден се изминати \(15 \,\text{km}\) ?

Прикажи решение

Запишува \(n=11 ,\quad d=1\quad , {a}_{11}=15\) (1 поен)

Наоѓа \({a}_{1}=5\) (1 поен)

Ја добива сумата \({S}_{11}=110\) (1 поен)

Заклучува должината на рутата е 110 километри. (1 поен)

Задача 11 Задача со постапка

Внатрешните агли на еден четириаголник формираат аритметичка прогресија со разлика \(20^{\circ}\). Најди ги сите внатрешни агли.

Прикажи решение

Запишува \(x+(x+20^{\circ})+(x+40^{\circ})+(x+60^{\circ})=360^{\circ}\) (1 поен)

Наоѓа \(x=60^{\circ}\) (1 поен)

Ги запишува аглите \(60^{\circ}, 80^{\circ},100^{\circ},120^{\circ}.\) (1 поен)

Задача 12 Краток одговор

Првите четири члена на аритметичка прогресија со: \(-3, -1, 1, 3.\) Општиот член на прогресијата е __________________

Прикажи решение

\({a}_{n}=-5+2n\)

Задача 13 Краток одговор

Да се напишат членовите што недостасуваат во двете аритметички прогресии.

1, -1, -3 ,_____ , ____
2, _____ , 6, 8, _______

Прикажи решение

А.-5,-7

Б. 4,10

Задача 14 Краток одговор

Дадена е низа со општ член \({a}_{n}={2}^{n} -2\cdot n\) . Запишете ги првите четири члена на низата.

Прикажи решение

0,0,2,8

Задача 15 Краток одговор

Во аритметичка прогресија со разлика \(d=4\), збирот на вториот и третиот член е 22. Првиот член на прогресијата е __________.

Прикажи решение

Задача 16 Краток одговор

Броевите \(2, \sqrt{x} , 8\quad \) се првите три членови на геометриска прогресија. Пресметај:

А. \(x=\) _______.

Б. Петтиот член е _____________

Прикажи решение

Задача 17 Краток одговор

А.Да се пресмета сумата 100+50+25+......

Одговор: ____________

Б.Дадена е низата со општ член \({a}_{n}=8\cdot {(\frac{1}{2})}^{n}-1\) . Првите три члена се:

________________________

Прикажи решение

А.200

Б. 3,1,0.

Задача 18 Повеќечлен избор

Кој од следните изрази е општ член на низа со првите четири члена 3,5,7,9?

А. \(2n-1\)

Б. \(2n\)

В. \(2n+1\)

Г. \({n}^{2}+1\)

Прикажи решение

В. \(2n+1\)

Задача 19 Повеќечлен избор

Нека \({a}_{1}=2\) , и \({a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}+5}{2}\) за \(n\ge 1\) , најди \({a}_{11}\) .

А.27

Б. 25

В. 22

Г. \(\frac{27}{2}\)

Прикажи решение

А.27

Задача 20 Повеќечлен избор

Нека \(({a}_{n})\) е аритметичка низа така што \({S}_{12}=168\) и \({a}_{13}-{a}_{1}=24\) . Најди колку е \({a}_{1}\).

А.2

Б.3

В.4

Г.5

Прикажи решение

Б.3

Задача 21 Повеќечлен избор

Нека \(x-2, x+8, 3x+2 \) формираат аритметичка прогресија. Пресметај го \(x\) .

А. 12

Б. 11

В. 10

Г. 8

Прикажи решение

Г. 8

Задача 22 Краток одговор

Нека \(({a}_{n})\) е геометриска прогресија со прв член \(\frac{1}{7}\) и количник \(\frac{1}{2}\) . Најди го општиот член на низата.

А .\(\frac{2}{7} \cdot {2}^{n}\)

Б. \({\frac{1}{14\cdot 2}}^{n}\)

В. \(\frac{2}{7\cdot {2}^{n}}\)

Г. \(\frac{14}{{2}^{n}}\)

Прикажи решение

В. \(\frac{2}{7\cdot {2}^{n}}\)

Задача 23 Повеќечлен избор

Нека \(\frac{625}{32} , \frac{125}{16} , \frac{25}{8}\) се првите три члена на геометриска прогресија. Пресметај го осмиот член.

А. \(\frac{125}{8}\)

Б. \(\frac{25}{16}\)

В. \(\frac{16}{25}\)

Г. \(\frac{4}{125}\)

Прикажи решение

Г. \(\frac{4}{125}\)

Задача 24 Повеќечлен избор

Нека \(({a}_{n})\) е аритметичка прогресија со \({a}_{11}=8 \) и \({a}_{20}=35\) . Пресметај го \({a}_{3}\) .

А. -3

Б. -6

В. -16

Г. -22

Прикажи решение

В. -16

Задача 25 Повеќечлен избор

Нека \(({a}_{n})\) е геометриска прогресија со четврти член \(\frac{1}{8}\) и десети член \(\frac{1}{32}\) . Најди го седмиот член.

А. \(\frac{1}{32}\)

Б. \(\frac{1}{16}\)

В. \(\frac{1}{8}\)

Г. \(\frac{1}{4}\)

Прикажи решение

Б. \(\frac{1}{16}\)

Задача 26 Повеќечлен избор

Пресметај \(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{9}-\frac{1}{4}+\frac{1}{27}-\frac{1}{8}+\ldots \)

А. -1

Б.\(-\frac{1}{2}\)

В. 0

Г. \(\frac{1}{2}\)

Прикажи решение

Б. \(-\frac{1}{2}\)

Задача 27 Задача со постапка

Да се најде \(x\) , за да \(2x-1, 3x+2, 6x+1 \) се првите три члена на аритметичка прогресија. Да се пресмета петтиот член на прогресијата.

Прикажи решение

Го запишува изразот

\(3x+2-(2x-1)=6x+1-(3x+2)\) (1 поен)

Добива

\(x=2\) (1 поен)

Го наоѓа \({a}_{5}=23\) (1 поен)

Задача 28 Задача со постапка

Да се најде позитивен број \(x\) , за да \(4-x , 2, \sqrt{x}\) се првите три члена на аритметичка прогресија. Запишете ги првите пет члена на прогресијата.

Прикажи решение

Го запишува изразот

\(2-(4-x)=\sqrt{x} -2\) (1 поен)

Ја добива равенката \(\sqrt{x}=x\) (1 поен)

Ги добива решенијата

\({x}_{1}=0, {x}_{2} =1\) (1 поен)

Ги запишува првите пет члена 3,2,1,0,-1 (1 поен)

Задача 29 Задача со постапка

Внатрешните агли на еден четириаголник формираат аритметичка прогресија со разлика \(20^{\circ}\). Најди ги сите внарешни агли.

Прикажи решение

Запишува \(x+(x+20^{\circ})+(x+40^{\circ})+(x+60^{\circ})=360^{\circ}\) (1 поен)

Наоѓа \(x=60^{\circ}\) (1 поен)

Ги запишува аглите \(60^{\circ}, 80^{\circ},100^{\circ},120^{\circ}.\) (1 поен)

Задача 30 Задача со постапка

Дадена е геометриска прогресија со \({a}_{1}=3 \) и \({S}_{3}=\frac{19}{3}\) да се пресмета \(q\) .

Прикажи решение

Ја запишува формулата \({S}_{3}={a}_{1} \cdot \frac{1-{q}^{3}}{1-q}\) (1 поен)

Ја поставува равенката \(\frac{19}{3}=3\cdot \frac{(1-q)(1+q+{q}^{2})}{1-q}\) (1 поен)

Ја добива равенката

\(\frac{19}{9}=1+q+{q}^{2}\) (1 поен)

Ги наоѓа решенијата \({q}_{1}=-\frac{5}{3} , {q}_{2}=\frac{2}{3}\) (1 поен)

Задача 31 Задача со постапка

Да се пресмета сумата на членовите на конечната аритметичка прогресија

\(100, 88, 76, \ldots , -140\) .

Прикажи решение

Наоѓа \({a}_{1}=100, d=-12\) (1 поен)

Ја поставува равенката

\(-140=100-(n-1) \cdot 12\) и добива \(n=21\) (1 поен)

Пресметува \({S}_{21}=\frac{21}{2} \cdot (100-140)=-420\) (1 поен)

Задача 32 Задача со постапка

Да се пресмета вредноста на изразот

\(\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\ldots}}}}\)

Прикажи решение

Добива

\(5^{\frac12}\cdot5^{\frac14}\cdot5^{\frac18}\cdot5^{\frac1{16}}\cdots\) (1 поен)

Добива

\(5^{\frac12}\cdot5^{\frac14}\cdot5^{\frac18}\cdot5^{\frac1{16}}\cdots\)=\(5^{\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\ldots}\) (1 поен)

Добива

\(5^{\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\ldots}\)=\(5^{\frac{1/2}{1-1/2}}=5^1=5\) (1 поен)