П5 Тригонометрија – матура 2013

24 задачи за вежбање за државна матура по математика, со решенија.

Прво решете ја задачата во тетратка, па отворете го решението. Кај задачите со постапка е наведено и колку поени носи секој чекор.

Задачи од банката задачи за државната матура 2013 (основно и напредно ниво). Програмата оттогаш е изменета, па некои теми веќе не се дел од матурата.

Задача 1 Краток одговор

А.Од податоците на цртжот аголот \(x\) =______________.

Слика кон задачата

Б. Тркало се движи со брзина \(4\pi \,\text{rad}\) во минута . За кој агол ќе се заврти за \(20 \) секунди?

Прикажи решение

А.\(x=30^{\circ}\)

Б. \(\frac{4\pi }{3}\) или \(240^{\circ}\) .

Задача 2 Краток одговор

А. Да се пресмета вредноста на функцијата \(\cos x\) , ако \(\sin x =\frac{5}{13}\) и аголот \(x \) е тап агол.

Одговор: \(\cos x=\) _________.

Б. Пресметај ја вредноста на изразот \(\operatorname{ctg} 30^{\circ}- \frac{1}{\cos 30^{\circ}}=\) __________________

Прикажи решение

А.\(\cos x=-\frac{12}{13}\)

Б. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Задача 3 Краток одговор

Пресметај ја вредноста на \(\cos x\) , ако \(\operatorname{tg}x=-2\) и \(\frac{\pi }{2}\lt x\lt \pi \) .

Одговор: \(\cos x=\) ______________

Прикажи решение

\(-\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Задача 4 Краток одговор

А.Упрости го изразот:

\(\cos (x-\frac{\pi }{2})+2\sin (\pi +x)=\) ________________.

Прикажи решение

\(-\sin x\)

Задача 5 Краток одговор

А.Пресметај \(\cos 105^{\circ}=\) ________________

Б. Аголот изразен во радијани меѓу стрелките од часовник во 10 часот е_______________.

Прикажи решение

А.\(\frac{\sqrt{2}}{4}(1-\sqrt{3})\)

Б. \(\frac{\pi }{3}\)

Задача 6 Краток одговор

Во триаголникот \(ABC\) е дадено: \(b=12 \,\text{cm}\) , \(c=8 \,\text{cm}\) и \(\alpha =135^{\circ}\) .Должината на страната \(a=\) ___________ \(\,\text{cm}\) .

Прикажи решение

\(\sqrt{208+96\sqrt{2}}\) ,

или приближно

\(18.54 \)

Задача 7 Повеќечлен избор

Колку е \(\sin 120^{\circ}\)

А. \(-\frac{\sqrt{3} }{2}\)

Б. \(-\frac{1}{2}\)

В. \(\frac{\sqrt{2} }{2}\)

Г. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Прикажи решение

Г. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Задача 8 Повеќечлен избор

Колку е \(\cos 210^{\circ}\) ?

А. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Б. \(-\frac{1}{2}\)

В. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Г. \(\frac{1}{2}\)

Прикажи решение

Б. \(-\frac{1}{2}\)

Задача 9 Повеќечлен избор

Колку е \(\operatorname{tg} \frac{5\pi }{3}\) ?

А. \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Б. \(-\sqrt{3}\)

В. -1

Г. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Прикажи решение

Б. \(-\sqrt{3}\)

Задача 10 Повеќечлен избор

Нека \(\alpha \) е остар агол , тогаш \(\sin (180+\alpha )\) е?

А. \(\sin \alpha \)

Б. \(\cos \alpha \)

В. \(-\sin \alpha \)

Г. \(-\cos \alpha \)

Прикажи решение

В. \(-\sin \alpha \)

Задача 11 Повеќечлен избор

Вредноста на \(\sin \frac{3\pi }{2}-\cos \pi \):

А.-2

Б. 0

В. 1

Г. 2

Прикажи решение

Б. 0

Задача 12 Повеќечлен избор

Точката \( P(\frac{\sqrt{3}}{2} , b)\) е точка од единечната кружница. Дадено е дека \(P\) е во четвртиот квадрант, најди го \(b.\)

А. \(-\frac{1}{2}\)

Б. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

В.-1

Г. \(\frac{1}{2}\)

Прикажи решение

А. \(-\frac{1}{2}\)

Задача 13 Повеќечлен избор

Дадено е \(\sin x-\cos x=\frac{1}{4}\). Колку е \(\sin x \cdot \cos x\) ?

А. \(\frac{16}{25}\)

Б. \(\frac{15}{32}\)

В. \(\frac{3}{4}\)

Г. \(\frac{3}{8}\)

Прикажи решение

Б. \(\frac{15}{32}\)

Задача 14 Повеќечлен избор

На цртежот е дадено \(B C=\sqrt{10}\) и \(\tan \alpha =\frac{1}{3}\) . Пресметај го \(A C=x\) .

Слика кон задачата

А. \(3\sqrt{3}\)

Б. 3

В. \(\sqrt{3}\)

Г. 1

Прикажи решение

Г. 1

Задача 15 Повеќечлен избор

Кој од дадените изрази е еднаков на \(\sin 40^{\circ}\) ?

А. \(\sin 220^{\circ}\)

Б. \(\cos 140^{\circ}\)

В. \(\sin 50^{\circ}\)

Г. \(\cos (-50^{\circ})\)

Прикажи решение

Г. \(\cos (-50^{\circ})\)

Задача 16 Повеќечлен избор

Кое од следните равенства не е точно?

А. \(\sin 40^{\circ}=\cos 50^{\circ}\)

Б. \(\tan 210^{\circ}=\operatorname{ctg} 30^{\circ}\)

В. \(\tan 45^{\circ} =\operatorname{ctg} 225^{\circ}\)

Г. \(\sin 280^{\circ}=-\cos 10^{\circ}\)

Прикажи решение

Б. \(\tan 210^{\circ}=\operatorname{ctg} 30^{\circ}\)

Задача 17 Задача со постапка

На цртежот плоштината на триаголникот \(A B C\) е \(5{\,\text{cm}}^{2}\) . Пресметај ја плоштината на триаголникот \( A D E\) .

Слика кон задачата

Прикажи решение

Ја запишува формулата \(P(\triangle ABC)=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin \alpha \) (1 поен)

Добива:

\(\sin \alpha =\frac{2}{7}\) (1 поен)

Аголот при темето А е заеднички за двата триаголника. Запишува \(P(\triangle A D E)=\frac{1}{2} \cdot A D \cdot A E \cdot \sin \alpha \) (1 поен)

Добива \(P(\triangle A D E)=\frac{24}{7} {\,\text{cm}}^{2}\) . (1 поен)

Задача 18 Задача со постапка

Пресметај \(\cos 2x\) ако е дадено \(\cos x=\frac{\sqrt{7}}{4}\) и \(0\lt x\lt \frac{\pi }{2}\) .

Прикажи решение

Ја запишува дормулат

\(\cos 2x=2 \cdot {\cos}^{2}x-1\) (1 поен)

Заменува \(\cos 2x= 2{(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2}-1\) (1 поен)

Добива \(\cos 2x=-\frac{1}{8}\) . (1 поен)

Задача 19 Задача со постапка

Пресметај \(\sin \frac{3\pi }{8} \cdot \cos \frac{\pi }{8}\) .

Прикажи решение

Запишува \(\sin \frac{3\pi }{8} \cdot \cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}[\sin (\frac{3\pi }{8}+\frac{\pi }{8})+\sin (\frac{3\pi }{8}-\frac{\pi }{8})]\) (1 поен)

Добива \(\sin \frac{3\pi }{8} \cdot \cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}[\sin \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{4}]\) (1 поен)

Добива \(\sin \frac{3\pi }{8} \cdot \cos \frac{\pi }{8}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\) (1 поен)

Задача 20 Задача со постапка

Упрости го изразот \((0\lt \alpha \lt 90^{\circ})\)

\(\sin (90^{\circ}+\alpha )+\cos (180^{\circ}+\alpha )+\operatorname{tg}(270^{\circ}-\alpha )+\operatorname{ctg}(360^{\circ}-\alpha )\)

Прикажи решение

Добива

\(\sin (90^{\circ}+\alpha )=\cos \alpha \) (1 поен)

Добива

\(\cos (180^{\circ}+\alpha )=-\cos \alpha \) (1 поен)

Пресметува

\(\operatorname{tg}(270^{\circ}-\alpha )=\operatorname{ctg} \alpha \) (1 поен)

Добива \(\operatorname{ctg} (360^{\circ}-\alpha )=-\operatorname{ctg} \alpha \)

И заклучува вредноста на изразот е нула. (1 поен)

Задача 21 Задача со постапка

Пресметај го тапиот агол во триаголникот со дадени \(a=3\sqrt{6} \,\text{cm} , b=6 \,\text{cm} , \beta =45^{\circ}\) . Направете скица.

Прикажи решение

Прави скица и ги означува потребните елементи (1 поен)

Ја применува синусната теорема \(\sin \alpha =\frac{a\cdot \sin \beta }{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) (1 поен)

Заклучува \(\alpha =120^{\circ}\) (1 поен)

Задача 22 Задача со постапка

Докажи го идентитетот \((1-{\cos}^{2}\alpha)(1+{\operatorname{tg}}^{2}\alpha )={\operatorname{tg}}^{2}\alpha \) .

Прикажи решение

Запишува \(1-{\cos}^{2}\alpha ={\sin}^{2}\alpha \) (1 поен)

Запишува \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) (1 поен)

Добива \(1+{\operatorname{tg}}^{2}\alpha =\frac{1}{{\cos}^{2}\alpha }\) (1 поен)

Добива \((1-{\cos}^{2}\alpha)(1+{\operatorname{tg}}^{2}\alpha )={\operatorname{tg}}^{2}\alpha \) (1 поен)

Задача 23 Задача со постапка

Упрости го изразот \(A={(\operatorname{tg} \alpha +\operatorname{ctg} \alpha )}^{2}-{(\operatorname{tg} \alpha -\operatorname{ctg} \alpha )}^{2}\) .

Прикажи решение

Го извршува квадрирањето во изразот (1 поен)

Добива \(A=4 \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha \) (1 поен)

Заклучува вредноста на изразот \(A=4\) при \(\cos \alpha \ne 0, \sin \alpha \ne 0\) . (1 поен)

Задача 24 Задача со постапка

Реши ја тригонометриската равенка

\(\sin (x-\frac{\pi }{2})+\sin \frac{\pi }{2}=\sin (x+\frac{\pi }{2})\)

Прикажи решение

Решението на равенката е \(x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \quad k\in Z\) (1 поен)