Прогресии

24 задачи за вежбање за државна матура по математика, со решенија.

Прво решете ја задачата во тетратка, па отворете го решението. Кај задачите со постапка е наведено и колку поени носи секој чекор.

Оваа тема не е посебно подрачје во актуелната испитна програма за државна матура, но задачите се добра вежба (такви задачи имаше и на тестовите од 2022 година).

Што треба да знаете

Аритметичка прогресија: општ член, збир на првите n членови, својства
Геометриска прогресија: општ член, збир на првите n членови, својства
Бескрајна геометриска прогресија: збир на членовите и примена во задачи од алгебра и геометрија

Задача 1 Повеќечлен избор

Ако \(a - 8\) , \(6\) и \(a\) се последователни членови на аритметичка прогресија, тогаш вредноста на \(a\) е:

А.\(- 10\)

Б. \(0\)

В. \(\pm 10\)

Г.\(10\)

Прикажи решение

Г.\(10\)

Задача 2 Повеќечлен избор

Ако \(S_{n} = 6n^{2} - 5n\ \) е сумата од првите \(n\) членови на аритметичка прогресија \(a_{1},a_{2},a_{3},\ \ldots,\ \)тогаш \(a_{3}\ \) е еднаково на:

А. 1

Б. 25

В. 13

Г. 14

Прикажи решение

Б. 25
\(a_3=S_3-S_2=39-14=25\)

Задача 3 Повеќечлен избор

За една растечка геометриска прогресија \(a_{6} = 8\) и \(a_{10} = 128\ \). Количникот на прогресијата е:

А.\(\pm 2\)

Б. \(- 2\)

В. \(2\)

Г. \(\frac{1}{2}\)

Прикажи решение

В. \(2\)

Задача 4 Краток одговор

Да се пресмета \(S_{25}\) за аритметичка прогресија, за која \(a_{6} + a_{9} + a_{12} + a_{25} = 40\ .\)

\(S_{25} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)

Прикажи решение

250

Задача 5 Задача со постапка

За геометриска прогресија е дадено дека \(a_{5} - a_{3} = 4\) и \(a_{7} - a_{5} = 12.\ \) Пресметај колку е \(a_{9} - a_{7}\) .

Прикажи решение

Од системот

\[\left\{ \begin{array}{r} \ a_{5} - a_{3} = 4\ \\ a_{7} - a_{5} = 12 \end{array} \right.\ \]

добива \(q^{2} = 3\) (1 поен)

Потоа добива \(a_{5} = 6\) (1 поен)

\(a_{9} - a_{7} = a_{5} \cdot q^{4} - a_{5} \cdot q^{2} = 36\) (1 поен)

Задача 6 Краток одговор

Ако \(n\mathbb{\in N}\) општиот член на бројната низа \(a_{n} = ( - 1)^{n + 1} \cdot 2n + ( - 1)^{n}\) , тогаш

\(a_{16} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\).

Прикажи решение

-31

Задача 7 Краток одговор

Количникот на геометриската прогресија \(a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ a_{3}\ ,\ \ldots,\ a_{n},\ ..\) , за која \(a_{1} = 3\) и \(a_{6} = 96\) , е еднаков на:

\[q = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\]

Прикажи решение

Задача 8 Краток одговор

Општиот член на една аритметичка прогресија е \(a_{n} = 3n + 1\). Шестиот член на низата е : ___________________

Прикажи решение

Задача 9 Краток одговор

А. Збирот на \(a_{13}\) и \(a_{16}\) на аритметичка прогресија е 6. Сумата на првите 28 члена на таа прогресија е__________________

Б. За која вредност на \(m\) броевите \(m + 2\ ,\ 3m - 1\ \)и \(4m - 2\) се последователни членови на една аритметичка прогресија?

\[m = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\]

Прикажи решение

А.84

Б.2

Задача 10 Краток одговор

А. 6,2,-2 се првите три члена на една аритметичка прогресија \((a_{n})\). Пресметај го 30-иот член. \(a_{30} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\).

Б. \(\left( a_{n} \right)\) е аритметичка прогресија со \(a_{1} = - 1\) и разлика 9. Кој член од низата е 89?

Прикажи решение

А. -110

Б.11

Задача 11 Краток одговор

Дадена е аритметичка прогресија со \(a_{13} = 26\) и \(d = - 2\) ,

тогаш \(\ S_{13} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)

Б. \(\frac{3}{16},\frac{3}{8},\frac{3}{4}\) се првите три члена на геометриска прогресија \((a_{n})\). Осмиот член на прогресијата е_______________

Прикажи решение

А. 494
\(a_1=a_{13}-12d=50,\ S_{13}=\frac{13(50+26)}{2}=494\)

Б.24

Задача 12 Краток одговор

А. Пополни ги празните места со броеви кои формираат геометриска прогресија -2, _____, ______,_______, -162.

Б.Дадена е геометриска прогресија со \(a_{1} = 1\) и \(q = - 2\ \), тогаш \(S_{7} = \_\_\_\_\_\_\_\_\)

Прикажи решение

А. 6, −18, 54 (\(q=-3\)) или −6, −18, −54 (\(q=3\))

Б.43

Задача 13 Задача со постапка

Дадена е монотона геометриска прогресија со \(a_{4} - a_{2} = - \frac{45}{32}\) и

\(a_{6} - a_{4} = - \frac{45}{512}\). Пресметај го количникот на прогресијата.

Прикажи решение

Го запишува системот

\[\left\{ \begin{array}{r} a_{1}q^{3} - a_{1}q = - \frac{45}{32}\ \\ a_{1}q^{5} - a_{1}q^{3} = - \frac{45}{512} \end{array} \right.\ \] (1 поен)

Добива \(\frac{1}{q^{2}} = \frac{512}{32}\) (1 поен)

Прогресијата е монотона, па \(q=-\frac14\) се отфрла и добива \(q = \frac{1}{4}\) (1 поен)

Задача 14 Задача со постапка

За аритметичка прогресија \(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ \ldots,\ a_{n}\) е дадено, дека e \(a_{1} = 13\ ,\ a_{2} = 9\ \) и сумата на членовите \(S_{n} = - 27\ .\) Бројот \(n\) на членовите на прогресијата е.

Прикажи решение

Наоѓа \(d = 9 - 13 = - 4\) (1 поен)

Ја запишува формулата

\(S_{n} = \frac{n}{2}\lbrack 2a_{1} + (n - 1)d\rbrack\) заменува во формулата

\[- 27 = \frac{n}{2}\lbrack 26 + (n - 1)( - 4)\rbrack\] (1 поен)

Добива \(2n^{2} - 15n - 27 = 0\) (1 поен)

Добиваа \(n = 9\) (1 поен)

Задача 15 Задача со постапка

Пресметај \(\frac{9}{10} - \frac{9}{10^{2}} + \frac{9}{10^{3}} - \ldots\)

Прикажи решение

Наоѓа \(q = - \frac{1}{10}\) (1 поен)

Запишува \(S = \frac{a_{1}}{1 - q\ } = \frac{\frac{9}{10}}{1 - ( - \frac{1}{10})}\) (1 поен)

Добива \(S = \frac{9}{11}\) (1 поен)

Задача 16 Задача со постапка

Реши ја равенката \(x + x^{3} + x^{5} + \ldots = \frac{3}{8}\)

Прикажи решение

Добива \(S = \frac{x}{1 - x^{2}} = \frac{3}{8}\) (1 поен)

Ја добиваа квадратната равенка \(3x^{2} + 8x - 3 = 0\) (1 поен)

Добива \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = - 3\) (1 поен)

Заклучува решение на равенката е \(x = \frac{1}{3}\) (1 поен)

Задача 17 Задача со постапка

Должините на страните на правоаголен триаголник формираат аритметичка прогресија со разлика 3. Пресметај го радиусот на впишаната кружница.

Прикажи решение

Ги запишува страните

\(a,\ a + 3,\ a + 6\)

И ја запишува равенката \(a^{2} + (a + 3)^{2} = (a + 6)^{2}\) (1 поен)

Добива \(a = 9\) (1 поен)

Ги запишува страните на триаголникот 9,12,15 (1 поен)

Ја запишува формулата

\[P = r \cdot s\ \] (1 поен)

Добива \(r = 3\) (1 поен)

Задача 18 Задача со постапка

Да се определи општиот член \(a_{n}\) на аритметичка прогресија, ако \(a_{1} = 10\) и \(S_{14} = 1050\) .

Прикажи решение

Ја запишува формулата

\[S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n - 1)d)\] (1 поен)

Заменува и добива

\[S_{14} = \frac{14}{2}(2a_{1} + (14 - 1)d)\] (1 поен)

Добива \(d = 10\) (1 поен)

Ја запишува формулата за општ член на низата

\[a_{n} = 10 + (n - 1)10 = 10n\] (1 поен)

Задача 19 Повеќечлен избор

Во аритметичката прогресија \(5,11,17,\ldots,\) петтиот член е:

А.23

Б.25

В.27

Г.29

Прикажи решение

Г. 29
\(a_5=5+4\cdot6=29\)

Задача 20 Повеќечлен избор

Дадена е геометриска прогресија \(32,16,\ldots.\) петтиот член на прогресијата е:

А. 8

Б. 4

В. 2

Г. 1

Прикажи решение

В. 2

Задача 21 Повеќечлен избор

Во една аритметичка прогресија со разлика 2 и втор член 5, петтиот член е:

А.15

Б. 13

В. 11

Г. 9

Прикажи решение

В. 11

Задача 22 Повеќечлен избор

Во геометриската прогресија 1,-2,4,-8,... осмиот член е :

А.-128

Б. 256

В. 128

Г. -256

Прикажи решение

А. −128
\(a_8=1\cdot(-2)^7=-128\)

Задача 23 Повеќечлен избор

\(\frac{625}{32}\ ,\frac{125}{16}\ ,\frac{25}{8}\ \ \) се првите три члена на геометриска прогресија. Осмиот член на прогресијата е:

А.\(\frac{125}{8}\)

Б. \(\frac{25}{16}\)

В. \(\frac{16}{25}\)

Г. \(\frac{4}{125}\)

Прикажи решение

Г. \(\frac{4}{125}\)

Задача 24 Повеќечлен избор

\(5 - \sqrt{5}\ ,x\ ,\ 5 + \sqrt{5}\ \) формираат монотона геометриска прогресија. Вредноста на \(x\) e:

А.\(2\sqrt{5}\)

Б. \(5\)

В. \(\sqrt{5}\)

Г. \(7\)

Прикажи решение

А.\(2\sqrt{5}\)